平均値と中央値と最頻値【0から始める統計検定2級講座②】

この講座の対象者は以下の方を想定しています。

この講座では特に、0の状態から統計検定2級に合格したいって方のために、分かりやすさをモットーに解説していきます。

今回は平均値、中央値、最頻値について詳しく解説していきます。
この概念は検定だけでは無く、実生活においても非常に重要です。
しっかり覚えましょう！

 

 

平均値の求め方

おそらく、平均値という言葉を聞いた事が無いって人はいないでしょう。
しかし、実は平均値にも様々な種類があるのです。

こうなってくると初めて見たという人も多いでしょう。

似ているようで、求め方は全然違います。

 

ちなみに、平均値や中央値のように、複数のデータの特長を1つの数値に要約して表した物を代表値と言います。

 

算術平均の求め方

算術平均は、皆さんが今までに一番使っていた平均値です。
データの合計をデータの数で割って計算されるやつですね。
たとえば、データが[1、2、3]の場合、平均の求め方↓です。

 

$(1 + 2 + 3)/ 3 = 2$

 

これを数式で表すこの様になります。

 

統計学を学ぶ上で、こういった記号だらけの数式がバンバン出てきます。
でも焦らなくて大丈夫です。表している意味は非常に簡単です。

 

 

記号の意味

記号の意味をまとめると↓になります。

$x_i$に入る値はデータセットによって変わります。
$i$にはデータポイントの数だけ増殖するイメージです。
今回は[1, 2, 3]だったので、$x_1$には1が、$x_2$には2が、$x_3$には3が入ります。

そして、$∑$で全てを合計し、$n$(データポイントの数)で割って平均を求めました。

 

 

加重平均の求め方

加重平均は、データの合計をデータポイントの重み付けの合計で割って計算されます。

例えばある学校の数学のテストのクラス毎の平均点と、クラスの人数が以下の表だったとします。

	平均点	人数
A組	56	40
B組	72	30
C組	48	56

 

この学年の平均点を求めるには、算術平均を使って、
$(56+72+48)/3=58,66…$としたくなりますよね？

しかし、これだと間違いなのです。各クラスの生徒数が違うためです。

一度各クラスの平均点×人数をする必要があります。

 

$A組=56×40=2240$

$B組=72×30=2160$

$C組=48×56=2688$

 

これを合計し、全クラスの人数の126で割る事で正しい平均点を求められるのです。

実際に求めると以下のようになります。

 

$\bar{x} = \frac{56 \times 40 + 72 \times 30 + 48 \times 56}{40 + 30 + 56} = 56.25$

 

この様にして求まります。
大事なポイントとしては、この場合生徒数の(40, 30, 56)は重みと言い$w_i$で表します。

 

加重平均を数式で表すとこの様になります。

何て事はありませんね。$w_i$と$x_i$で各クラスの人数×クラスの平均としている事を表しています。

 

今回のように、カテゴライズされた後の平均値があると簡単に算術平均で全体平均を求めたくなりますが、それだと間違ってしまいます。
しっかりデータの背景を理解し、算術平均・加重平均を使い分ける必要があります。

 

 

幾何平均の求め方

幾何平均は、成長率や割合などのデータの平均を求めるためによく使用されます。
例えば、ある会社の年間売上額が以下の通りだったとします。(単位：千円)

	1年目の売上	2年目の売上	3年目の売上
売上額	1,000	1,100	1,320
上昇率(前年比)	–	10%	20%

 

3年目の売上は計算すると以下の様になります。

$1000×1.1×1.2=1320$

 

では成長率を平均してから($(1.1+1.2)/2=1.15$)、1年目の売上にその平均の値を2回掛けたら3年目の売上になると思いますよね？
しかしこれが間違いなのです。

$1000×1.5×1.5=1322.5$

このように、若干のずれが生じてしまうのです。

 

こんな時に使うのが幾何平均なのです。

 

数式で表すと以下の様になります。

ここで、$G$は幾何平均、$∏$は積、$x_i$はデータポイントです。

 

 

しかし、この数式だと少し難しいですね。
分かりやすくしたのが以下の数式です。

 

 

実際に幾何平均を求めてみる

この式を使って、先ほどの会社の上昇率の幾何平均を求めてみましょう。
nには2年分の上昇率なので2が入ります。
aには各年の上昇率が入ります。

$\bar{x_g} = \sqrt[2]{1.1×1.2}$

これを計算すると、

$\bar{x_g} = \sqrt[2]{1.32}$

$\bar{x_g} = 1.1489$　←これが答え

 

つまり、年間の成長率の幾何平均は14.89%となります。

 

 

ちなみに元のデータ個数が３個の時は下記の式になります。

$\bar{x_g} = \sqrt[3]{a_1×a_2×a_3}$

 

 

そもそも$\sqrt[3]{a}$が良く分からないという人の為に解説すると、
$\sqrt[3]{a}$は3乗すると$a$になる数を表し、$a$の立方根(3乗根)といいます。

 

例えば、$\sqrt[3]{8}$は2を3回掛けると8になりますので、√をとると2になります。

 

また、例題の$\sqrt[2]{a}$の場合、2を省略して、$\sqrt[]{a}$と書きます。

 

 

調和平均の求め方

調和平均は、速度や生産性などのように比率として表示される数の平均値を算出するときに用いられる算式であるため、速度の平均を計算するなど、さまざまな場面で使用できます。

以下の例題をもとに考えてみましょう。

 

この様な問題があると、$(60+40)/2=50$としたくなりますが、これは間違いです。
こんな時に使うのが調和平均です。

 

 

調和平均の数式

これに当てはめて例題を考えましょう。

$ｎ$には行きと帰りの分の2が入り、$x_1$には行きのスピード60、$x_2$には帰りのスピードの40が入ります。

 

$H = \frac{2}{\frac{1}{60} + \frac{1}{40}} = \frac{2}{\frac{2}{120} + \frac{3}{120}} = \frac{2}{\frac{5}{120}} = \frac{2×120}{5} = \frac{240}{5} = 48$

結果、48kmという事が分かりましたね！
これが調和平均です。

 

 

中央値の求め方

中央値は、データセットの中央に位置する値です。データが小さい順に並べたときに、ちょうど中央に位置する値です。
データセットに偶数個の要素がある場合、中央値は中央の 2 つの要素の平均です。

 

奇数個と偶数個の場合の求め方

例えば、以下の様な奇数個のデータセットの例をみてみましょう。

この場合は単純に真ん中の3が中央値になります。

 

 

続いて偶数個の場合をみてみましょう。

この場合は真ん中にある3と４の平均である$3.5$が中央値になります。

シンプルで分かりやすいですね！

 

 

中央値のメリット

中央値は平均値と似ている値になりますが、算出方法が全く違います。
そのため、中央値には大きなメリットがあります。それは、

外れ値の影響を受けにくい事です。

 

ちなみに外れ値とは、データセットの他の値とは大きく異なる値です。
例えばある社会人5人の年収が以下の表だったとします。

	年収
A君	450万
B君	560万
C君	480万
D君	500万
E君	1,800万

この様な場合、E君の1800万という数字は他の値とは大きく事なっているので、外れ値となります。

これの何が悪いのかとなると、この5人で年収の平均値を求めると758万となり、明らかに高い数字となってしまいます。

しかし、中央値で求めるとD君の500万と、非常に現実的な数値になるのです。

 

 

このように、データセットには外れ値が含まれているケースが非常に多いです。
その外れ値の影響をもろに受けてしまう様な時は、中央値の方を参照した方が良い場合があります。

 

 

最頻値の求め方

最頻値(モード)とは、データセットで最も頻繁に出現する値です。
データセットの各値の出現回数を数え、最も大きい出現回数を持つ値が最頻値です。

 

↑このデータセットの場合、2が3回で一番出現回数が多いので、最頻値は2になります。

最頻値は、データのばらつきを示すためによく使用される統計量です。
中央値よりも外れ値の影響を受けにくいため、データのばらつきを示すのに適している場合があります。

 

練習問題

①加重平均

 

 

幾何平均

 

 

調和平均

 

 

中央値と最頻値

 

 

 

 

 

まとめ

今回は代表値の一つである各平均値について学びました。

また、中央値、最頻値も学びましたね！

ここら辺の単語を初めて聞いた人も多いと思います。
統計検定ではバンバン出てくる単語ですので、しっかりと覚えておきましょう！

 

 

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